Question

已知数列{an}满足a1=1/5,且当n>1,n∈N*时,有a(n-1)/an=2a(n-1)+1/1-2an,设bn=1/an，n∈N*，

（1）求证：数列{bn}为等差数列。（2）试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由。
第（2）问中，为什么不能把an的通项公式求出来，再把a1a2带进去，而是要求出bn的通项公式，再用an表示出来呢？

Answer 1

(1)
a(n-1)/an=[2a(n-1)+1]/(1-2an)
整理，得
a(n-1)-an=4ana(n-1)
等式两边同除以ana(n-1)
1/an-1/a(n-1)=4，为定值
1/a1=1/(1/5)=5
bn=1/an
数列{bn}是以5为首项，4为公差的等差数列。
bn=5+4(n-1)=4n+1
(2)
1/an=4n+1
an=1/(4n+1)
a1a2=[1/(4+1)][1/(8+1)]=1/45=1/(44+1)=1/(4×11+1)=a11
a1a2是数列{an}中的项，是第11项。
第二问中，可以直接先求an的通项公式的。