Question

已知函数f(x)=ax^3+x^2+bx(其中常数a,b属于R),g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数

1，求f(x)的表达式
2，讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值
要完整解题过程

Answer 1

1) f'(x)=3ax^2+2x+b
g(x)=f(x)+f'(x)=x^3+(3a+1)x^2+(b+2)x+b 为个奇函数，则偶次项系数需为0，即有：
3a+1=b=0， 因此有：a=-1/3, b=0
f(x)=-x^3/3+x^2
2) g(x)=x^3+2x
g'(x)=3x^2+2>0, 因此其为单调增函数
最小值为左端点g(1)=1+2=3
最大值为右端点g(2)=8+4=12

Answer 2

1) f'(x)=3ax^2+2x+b
g(x)=f(x)+f'(x)=x^3+(3a+1)x^2+(b+2)x+b 为个奇函数，则偶次项系数需为0，即有：
3a+1=b=0， 因此有：a=-1/3, b=0
f(x)=-x^3/3+x^2
2) g(x)=x^3+2x
g'(x)=3x^2+2>0, 因此其为单调增函数
最小值为左端点g(1)=1+2=3
最大值为右端点g(2)=8+4=12