Question

已知f(x)=ax^3+x^2+bx（其中常数a,b属于R），g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数.(1)求f(x)的表达式；（2）讨论g(x)

已知f(x)=ax^3+x^2+bx（其中常数a,b属于R），g(x)=f(x)+f'(x)是奇函数.(1)求f(x)的表达式；（2）讨论g(x)的单调性

Answer 1

1）f'(x)=3ax^2+2x+b
∵g(x)=f(x)+f'(x)为奇函数
∴g(0)=0
即0+b=0，b=0
又g(-1)=-g(1)
则f(-1)+f'(-1)=-f(1)-f'(1)
-a+1+3a-2=-a-1-3a-2
2a-1=-4a-3
a=-1/3
故f(x)=-1/3x^3+x^2
2)f'(x)=-x^2+2x
则g(x)=-1/3x^3+2x
g‘(x)=-x^2+2
令g’(x)=0得：
-x^2+2=0
x=±√2
∵x<-√2时，g'(x)<0,g(x)递减
-√2<x<√2时，g‘(x)>0,g(x)递增
x>√2时，g'(x)<0,g(x)递减
∴g(x)在（负无穷，-√2），（√2，正无穷）上递减
在（-√2，√2）上递增