Question

已知函数f（x）=ax^3＋x^2+bx（其中常数a,b∈R）,g（x）=f（x）＋f'（x）是奇函数，求f（x）的表达式？

Answer 1

由f'（x）=3ax2+2x+b得g（x）=fax2+（3a+1）x2+（b+2）x+b，再由函数g（x）是奇函数，由g（-x）=-g（x），利用待系数法求解
解：
由题意得f'（x）=3ax²+2x+b
因此g（x）=f（x）+f'（x）=ax³+（3a+1）x²+（b+2）x+b
因为函数g（x）是奇函数，所以g（-x）=-g（x），
即对任意实数x，有a（-x）3+（3a+1）（-x）2+（b+2）（-x）+b=-[ax³+（3a+1）x²+（b+2）x+b]
从而3a+1=0，b=0，
解得a=-1/3，b=0，因此f（x）的解析表达式为f(x)=-1/3x³+x²

Answer 2

f（x）=ax^3＋x^2+bx
f'(x)=3ax^2+2x+b
g（x）=f（x）＋f'（x）
=ax^3＋x^2+bx+3ax^2+2x+b
=ax^3+(1+3a)x^2+(b+2)x+b
是奇函数
因此
1+3a=0,b=0
a=-1/3
f（x）=-1/3x^3＋x^2