Question

证明：函数f(x)2^x+(1+x)/(1-x)在区间（1，正无穷大）上单调递增。

Answer 1

方法一：设x1>x2>1，则f(x1)- f(x2)=2^x1+(1+ x1)/( 1-x1)- 2^x2-(1+ x2)/( 1-x2)
=2^x2[2^(x1-x2)-1]+2(x1- x2)/ ( 1-x1)( 1-x2)
因为x1>x2>1，所以2^(x1-x2)>2^0=1，2^x2>2，所以2x2(2x1-x2-1)>0.
( 1-x1)<0， ( 1-x2)<0，所以( 1-x1)( 1-x2)>0. 2(x1- x2)>0，所以
2(x1- x2)/ ( 1-x1)( 1-x2)>0.所以f(x1)- f(x2)>0, f(x1)> f(x2)

方法二：求导，f(x)的导数为2^x ln2+2/(1-x)^2，在（1，正无穷大）2^x>0，ln2>0，2/(1-x)^2>0，所以f(x)的导数>0,所以在区间（1，正无穷大）上单调递增。

追问

怎么看上去很乱 - =

Answer 2

y=2^x-(x-1+2)/(x-1)=2^x-[2/(x-1)]-1
观察法（选择题做法）：函数y=-2/(x-1)在（1，正无穷大）上递增很明显
导数证明：
很容易求得在（1，正无穷大），证得y'>0,所以为递增。