Question

已知椭圆的焦点F1(-3,0).F2(3,0),且与直线X-Y+9=0有公共点,则其中长轴最短的椭圆方程为?

Answer 1

解：试着做一下
因为求a最小，那么就是直线与椭圆相切
设椭圆x²/a²+y²/b²=1
a>b>0
c²=a²-b²
这里c=3
那么b²=a²-9
代入椭圆
(a²-9)x²+a²y²=a²(a²-9)
直线x-y+9=0
y=x+9代入椭圆
(a²-9)x²+a²(x²+18x+81)=a²(a²-9)
化简
(2a²-9)x²+18a²x+90a²-a^4=0
相切
判别式=324a^4-4(2a²-9)(90a²-a^4)=0
化简
a^4-54a²+405=0
(a²-45)(a²-9)=0
a²=45或9（不合题意，舍去）
所以b²=a²-9=45-9=36
方程：x²/45+y²/36=1

Answer 2

点f1(-3,0)关于直线x-y+9=0的对称点f1′坐标为(-9,6)
长轴最短时,2a＝|f2f1′|=6√5
a=3√5,c=3,
b=6
所求椭圆方程为
x^2/45+y^2/36=1