Question

求幂级数 ∑（∞，n→0）(2n+1)x^n的收敛域及和函数。

Answer 1

∑（∞，n→0）(2n+1)x^n
R=lim|2n-1/2n+1|=1
x=1时∑（∞，n→0）(2n+1)发散，
x=-1时∑（∞，n→0）(-1)^n(2n+1)也发散，
所以收敛域为（-1，1）
令s(x)=∑（∞，n→0）(2n+1)x^n=∑（∞，n→1）2nx^n+∑（∞，n→0）x^n
再令∑（∞，n→1）2nx^n=s1(x)
s1(x)=2x∑（∞，n→1）nx^(n-1)
=2x∑（∞，n→1）(x^n)'
=2x(∑（∞，n→1）x^n)'
=2x[x/(1-x)]'
=2x/(1-x)^2
而∑（∞，n→0）x^n=1/(1-x)
所以s(x)=2x/(1-x)^2+1/(1-x)=(1+x)/(1-x)^2
∑（∞，n→0）(2n+1)x^n=(1+x)/(1-x)^2, x属于（-1，1）