Question

设函数f(x)=-1/3x³+x²+(m²-1)x (x∈R)其中M＞0

﹙1）当M=1时曲线y=f(x)在点 [ 1.f(1)]外切线斜率
（2） 求函数单调区间与极值

Answer 1

(1), m=1, f(x)=-1/3x^3+x^2
f'(x)=-x^2+2x
f'(1)=-1+2=1, 此为点（1，f(1))切线斜率。
(2) f'(x)=-x^2+2x+m^2-1=-(x-1)^2+m^2=(m+x-1)(m-x+1)=0--> x=1-m, m+1
因 m>0, 故1-m<1+m，
当x<1-m, 或 x>1+m，f'(x)<0, 单调减
当1-m < x<1+m，f'(x)>0, 单调增
极小值为 f(1-m)=(m-1)^3/3+(m-1)^2-(m^2-1)(m-1)=-(m-1)^2(2m+1)/3
极大值为f(1+m)=-(m+1)^3/3+(m+1)^2+(m^2-1)(m+1)=(m+1)^2(2m-1)/3

Answer 2

（1）m=1时，f(x)=-1/3x³+x²，f'(x)=-x^2+2x，k=f'(1)=1；
（2）f'(x)=-x^2+2x+m^2-1，因为m>0，所以△=4m^2>0，
所以f'(x)=0恒有两个根，分别为x1=1-m，x2=m+1，x2>x1，
易得x<x1或x>x2时，f'(x)<0；x1<x<x2时，f'(x)>0；
所以x<x1或x>x2时，f(x)单调递减；x1<x<x2时，f(x)单调递增；
结合草图，在x1处取得极小值为f(x1)=f(1-m)；
在x2处取得极大值为f(x2)=f(m+1)；

Answer 3

(1)当m=1时f(x)=(-1/3)x^3+x^2，f'(x)=-x^2+2x
故曲线y=f(x)在点 [ 1.f(1)]处的切线斜率为k=1；
(2)f(x)=(-1/3)x^3+x^2+(m^2-1)x，则f'(x)=-x^2+2x+(m^2-1)=-(x-1)^2+m^2
所以函数单调区间为[1-m,1+m](递增区间)、(负无穷,1-m)及(1+m,正无穷)(递减区间)；
函数在x=1-m处取得极小值f(1-m)=-2m^3/3+m^2-1/3；
在x=1+m处取得极大值f(1+m)=2m^3/3+m^2-1/3。