Question

已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=[an+a(n+1)]/2,n∈N*,求{an}的通项公式

Answer 1

已知数列{an}满足a1=1,a2=2,

a(n+2)=[an+a(n+1)]/2
所以，
2a(n+2)-a(n+1)-an=0
所以，变形得到
2a(n+2)-2a(n+1)=-a(n+1)+an=-[a(n+1)-an]

令bn=a(n+1)-an
所以，b1=a2-a1=1
2b(n+1)=-bn
所以，
b(n+1)=(-1/2)*bn
所以，
bn=(-1/2)^(n-1)

所以，
a(n+1)-an=(-1/2)^(n-1)
所以，
an=∑ [(-1/2)^(n-2)] + a1
=-2*(1-(-1/2)^n)/(1-(-1/2)) +1
=4((-1/2)^n -1)/3 +1
=(4/3)*(-1/2)^n -1/3

希望采纳~~~

追问

an=∑ [(-1/2)^(n-2)] + a1
这个地方是 什么意思啊 能讲解下嘛

追答

有些打错了~~

应该是
a(n+1)-an=(-1/2)^(n-1)
an-a(n-1)=(-1/2)^(n-2)
a(n-1)-a(n-2)=(-1/2)^(n-3)
……
a2-a1=(-1/2)^(0)
所以，
an=(-1/2)^(n-2)+(-1/2)^(n-1)+……+(-1/2)^(0) +a1
=∑ [(-1/2)^(n-2)] + a1
=(1-(-1/2)^(n-1))/(1-(-1/2)) +1
=2(1-(-1/2)^(n-1))/3 +1
=(-2/3)*(-1/2)^(n-1) +5/3