Question

已知定义在［-1，1］上的奇函数f(x),当x∈（0,1］时，f(x)=f(x)=2^x/(4^x+1)。

要使方程f(x)=x+b在［-1，1］上恒有实数解，求实数b的取值范围？
注：前两问已求得f(x)在［-1，1］上的解析式，和f(x)在（0,1］上是奇函数了。
非常急！谢谢了。。。

Answer 1

可求得：f(x)= -2^x/(4^x+1) x∈[-1,0)
0 x=0
2^x/(4^x+1) x∈(0,1]
求导可知，f(x)在x≠0时为减函数，根据下列数据画图：f(-1)= -2/5 f(0-)= -1/2 f(0)=0
f(0+)=1/2 f(1)= 2/5
由图可知，两个函数无交点的临界情况为：当f(x)=x+b 过点(1,2/5)或(-1,-2/5)
此时b= ±3/5
所以：过这两点作平行于y=x的直线，得到有交点的条件为[-3/5,3/5]

Answer 2

可求得：f(x)= -2^x/(4^x+1) x∈[-1,0)，这是根据上面得到的
0 x=0
2^x/(4^x+1) x∈(0,1]
求导可知，f(x)在x≠0时为减函数，根据下列数据画图：f(-1)= -2/5 f(0-)= -1/2 f(0)=0
f(0+)=1/2 f(1)= 2/5
由图可知，两个函数无交点的临界情况为：当f(x)=x+b 过点(1,2/5)或(-1,-2/5)
此时b= ±3/5
所以：过这两点作平行于y=x的直线，得到有交点的条件为[-3/5,3/5]

Answer 3

b=f(x)-x,建立b关于x的函数，求解函数b(x)的值域。