Question

已知tan（A＋B）＝2tanA，求证3sinB＝sin（2A＋B）.

希望写出详细过程，谢了。

Answer 1

tan（A＋B）＝2tanA，
sin(A+B)cosA=2sinAcos(A+B)
sin(2A+B)=sin(A+A+B)=sinAcos(A+B)+cosAsin(A+B)
=sinAcos(A+B)+2sinAcos(A+B)=3sinAcos(A+B)
sinB=sin(A+B-A)=sin(A+B)cosA-cos(A+B)sinA=2sinAcos(A+B)-cos(A+B)sinA=sinAcos(A+B)
即3sinB＝sin（2A＋B）.

Answer 2

3sinb=sin(2a+b)可得sin(2a+b)-sinb=2sinb
由两角正弦差的公式：
sin(2a+b)-sinb=2cos[(2a+b+b)/2]sin[(2a+b-b)/2]=2cos(a+b)sina
因此：cos(a+b)sina=sinb，即：cos(a+b)=sinb/sina
则：sin(2a+b)=sin[a+(a+b)]=sinacos(a+b)+cosasin(a+b)……（*）
将sin(2a+b)=3sinb，cos(a+b)sina=sinb代入等式（*）：
3sinb=sinb+cosasin(a+b)，因此sin(a+b)=2sinb/cosa
则：tan(a+b)=sin(a+b)/cos(a+b)=(2sinb/cosa)/(sinb/sina)
=2(sinb/cosa)*(sina/sinb)=2sina/cosa=2tana