Question

请问这道题目怎么证明

试证方程 x + x^2/2！ + ……+x^n/n!=1对任何不小于2的正整数n,在（0,1)内都有唯一实根Xn及lim（n->∞）Xn存在，并求此极限

Answer 1

1. 令f(x) = x + x^2/2！ + ……+x^n/n!-1
则f‘(x) = 1 + x + x^2/2！ + ……+x^(n-1)/(n-1)!>0, x∈(0,1), f(x)单调递增。
f(0)=-1，f(1)>0, 所以f(x)在(0,1)内有唯一0点。
2. 有泰勒展式易知
e^Xn-2=e^Xn-(1+Xn+ Xn^2/2！ + ……+Xn^n/n!)>0
e^Xn-(1+Xn+ Xn^2/2！ + ……+Xn^n/n!)=(e^y)*Xn^(n+1)/(n+1)!)<e/(n+1)!, y∈(0,Xn),
由夹逼定理可知 e^Xn-2 的极限存在，从而Xn的极限X存在。
且有 e^X-2=0, X=ln2

Answer 2

设垂足不在后一边的反向延长线上。垂足在边上，90度＋钝角大于180度，与三角形内角和小于180矛盾。所以假设不成立，题设得证