Question

设f(X)=(-1/3)X3+(1/2)X2+2aX。若f(X)在(2/3,正无穷）上存在单调递增区间，求a的取值范围

设f(X)=(-1/3)X3+(1/2)X2+2aX。若f(X)在(2/3,正无穷）上存在单调递增区间，求a的取值范围

Answer 1

f(X)=(-1/3)X3+(1/2)X2+2aX
f’(X）=-x²+x+2a=-（x+1/2）²+2a+1/4
-x²+x+2a的两根为x=1±根号（1+8a）/2
f‘（2/3）＞0,2a＞4/9-2/3=-2/9，a＞-4/9
1+8a＞0，a＞-1/8
2/3＜1+根号（1+8a）/2，a＞-1/9
综上，a的取值范围为a＞-1/9

Answer 2

对函数f(x)求导得：
f'(x)=-x^2+x+2a
求得f'(x)= -x^2+x+2a>0的区间即可得到函数f(x)的递增区间，
解f'(x)= -x^2+x+2a>0 得：
[1-√(1+8a)]/2<x<[1+√(1+8a)]/2
即函数f(x)在区间[1-√(1+8a)]/2<x<[1+√(1+8a)]/2单调递增，
若f（x）在(2/3 ,+∞)上存在单调递增区间，则有：
区间[1-√(1+8a)]/2<x<[1+√(1+8a)]/2 与区间(2/3 ,+∞)存在交集，从而有：
[1+√(1+8a)]/2 >2/3
即：1+8a>1/9
解得：a>-1/9

.导数f'(x)= -x^2+x+2a f(x) (2/3，正无穷)上存在单调增区间
也就是：对于g(x)=x^2-x-2a 这个抛物线，在(2/3，正无穷)上存在x0使得g(x0)<0
可见x^2-x-2a =0必有二根且较大的根>2/3 设为x0,x1
由此得a>-1/9
这么想应该也行。

Answer 3

解：答案为a>-1/9
你因该学习导数了吧？对函数f(x)求导得：
f'(x)=-x^2+x+2a
求得f'(x)= -x^2+x+2a>0的区间即可得到函数f(x)的递增区间，
解f'(x)= -x^2+x+2a>0 得：
[1-√(1+8a)]/2<x<[1+√(1+8a)]/2
即函数f(x)在区间[1-√(1+8a)]/2<x<[1+√(1+8a)]/2单调递增，
若f（x）在(2/3 ,+∞)上存在单调递增区间，则有：
区间[1-√(1+8a)]/2<x<[1+√(1+8a)]/2 与区间(2/3 ,+∞)存在交集，从而有：
[1+√(1+8a)]/2 >2/3
即：1+8a>1/9
解得：a>-1/9