Question

高中数学 设f(x)=3a(x^2)+2bx+c.若a+b+c=0, f(0)>0,f(1)>0,求证: 方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.

Answer 1

△=4(b^2-3ac)，a+b+c=0,所以△=4(a^2+c^2-ac)，因a^2+c^2>ac，得△>0；
f(1)>0得3a+2b+c>0，a+b+c=0，得2a+b>0①；f(0)>0得c>0，a+b+c=0，得a+b<0②；
由①②两式可得a>0，1/2<-b/2a <1；综上，题设得证。

Answer 2

∵f(0)>0，则c>0 (1)
∵f(1)>0, 则3a+2b+c>0 (2)
∵a+b+c=0, 则a+b<0 (3)
由(1),(2),(3)得a>0,1/2<-b/(2a)<1
f(x)开口向上，极小值=-(a^2+c^2-ac)/(3a)<0
f(0)>0，f(1)>0
∴f(x)在(0,1)内与X轴必有二个交点

Answer 3

（1）a+b+c=0; (2)c>0; (3)3a+2b+c>0;
由（1）（2）得：a+b<0 .....(4);由（1）（3）得：2a+b>0....(5)；
现在看看f(x)最高或最低点时x的值(x=-b/2a),在本题中这个值是-b/3a;
讨论-b/3a的范围：（续）

Answer 4

由f(0）>0，则c>0,f(1)>0,则3a+2b+c>0,且(2b)^2-4*3a*c>(-3a-c)^2-12ac=9a^2+c^2-6ac>0
又(4*3a*c-(2b)^2)/(4*3a)<0,
故f（x）=0在（0,1）内有两根

Answer 5

因为f(0）>0，则c>0,f(1)>0,则3a+2b+c>0,又因为(2b)^2-4*3a*c>(-3a-c)^2-12ac=9a^2+c^2-6ac>0(利用a^2+b^2>2ac,a#b)则f(x)=0有解。又因为(4*3a*c-(2b)^2)/(4*3a)<0,所以f（x）=0在（0,1）内有两根