Question

已知：在梯形ABCD中，AD平行BC,AB=AD+BC,E为CD中点，求证：AE垂直于BE

Answer 1

延长AE，交BC延长线于F。

因为，AD∥BC，DE = CE ，
所以，AE = FE ；

因为，在△ADE和△FCE中，DE = CE ，∠AED = ∠FEC ，AE = FE ，
所以，△ADE ≌ △FCE ，
可得：AD = CF ；

因为，AB = AD+BC = CF+BC = BF ，且 AE = FE ，
所以，△BFA是等腰三角形，BE是底边AF上的中线，
可得：BE⊥AF ，
即有：AE⊥BE 。

Answer 2

取AB的中点F，连结EF
∵E是CD的中点
∴EF 是梯形ABCD的中位线
∴2EF = AD+BC
∵AB = AD + BC
∴2EF = AB
∴△AEB是Rt△，AE⊥BE