Question

正方体ABCD_A1B1C1D1中,E,F分别是B1C1和D1C1的重点，P,Q分别是EF和BD的中点，对角线A1C与平面BF交与H点

正方体ABCD_A1B1C1D1中,E,F分别是B1C1和D1C1的重点，P,Q分别是EF和BD的中点，对角线A1C与平面BF交与H点，求证：P,H,Q三点共线
(A1B1C1D1的1均为下标)

Answer 1

利用公理3，先证平面AC1与平面BF的交线是PQ，在证H是这两个平面的公共点

Answer 2

(1)证法一:∵EF是△D1B1C1的中位线,

∴EF∥B1D1.

在正方体AC1中，B1D1∥BD,

∴EF∥BD.

由公理3知EF、BD确定一个平面,

即D、B、F、E四点共面.

证法二:延长BF,CC1交于点G,延长DE,CC1交于点G′.

G与G′重合DE,BF是相交直线D,B,F,E四点共面.

(2)证明:正方体ABCD—A1B1C1D1中，设A1ACC1确定的平面为α,设平面DBFE为β,

∵为α、β的公共点.

同理,P亦为α、β的公共点,

∴R∈PQ,即P、Q、R三点共线.

点评:证明多点共线，可先由两点确定一直线，证其余点在直线上.要证点在一条直线上，只需证明这点是两平面的公共点，而直线是两个平面的交线，这是证点在直线上的常用方法.

Answer 3

.
...................................................................................