Question

如图,在△ABC中,BC=10,S△ABC=30,矩形DEFG内接于△ABC,设DE=x,矩形DEFG的面积为y

(1)y与x的函数关系式及定义域
(2)当x为何值时，四边形DEFG为正方形，并求正方形DEFG的面积

Answer 1

题中对于矩形顶点的位置描述不清楚,在此只能猜一下了.
矩形的一边EF在BC上,点D在AB上,点G在AC上.

解:作AH垂直BC于H,则BC*AH/2=30,即10*AH=60,AH=6.
DG平行BC,则⊿ADG∽⊿ABC.相似三角形对应高的比等于相似比,即:
(AH-DE)/AH=DG/BC,即(6-X)/6=DG/10,DG=(-5/3)X+10.
(1)Y=DE*DG=X*[(-5/3)X+10]=(-5/3)X²+10X. (0<X<6)
(2)当DE=DG,即X=(-5/3)X+10时,四边形DEFG为正方形.
可求得:X=15/4.即X=15/4时,四边形DEFG为正方形;
正方形DEFG的面积为: X²=(15/4)²=225/16.
(注:这是一个典型利用三角形相似解决的题目,有必要把它作为基本图形熟记于心.)

Answer 2

解：（1）过点A作AH垂直BC交DG于点O，交BC于点H
已知三角形ABC的面积为30，即
BCxAHx1/2=30
解得
AH=6
又四边形DEFG为矩形，故DG//BC
所以角ADG=角ABC
则三角形ADG相似于三角形ABC
所以DG/BC=AO/AH
即DG/10=(6-x)/3
，解得DG=5(6-x)/3
(0<x<6)
所以y=5x(6-x)/3
（2）由（1）可知DG=(6-x)/3，
要使四边形DEFG为正方形
则DE=DG，
所以x=(6-x)/3
，解得x=3/2
所以正方形DEFG的面积为
3/2
X3/2=9/4

Answer 3

解:(1)∵BC=10
又S△ABC=30
∴BC边上的高
h=2S△ABC/BC
=2×30÷10=6
∵S△ADG=(1/2)*DG*(h-DE)
=(1/2)*(y/x)*(6-x)
=3y/x-y/2
S△BED+S△CFG=(1/2)*BE*DE+(1/2)*FC*GF
=(1/2)*(BE+FC)*x
=(1/2)*(BC-EF)*x
=(1/2)*(10-y/x)*x
=5x-y/2
∴y=S△ABC-(S△ADG+S△BED+S△CFG)
=30-(3y/x-y/2+5x-y/2)
=30-(3y/x+5x-y)
=30-3y/x-5x+y
∴30-3y/x-5x=0
整理，得
y=10x-(5/3)*x²
函数y的定义域为0<x<6
(2)由(1)，知
y=10x-(5/3)*x²
=x[10-(5/3)x]
∵矩形DEFG的边长DE=x
则边DE的邻边DG=10-(5/3)*x
当矩形DEFG为正方形时，有
x=10-(5/3)*x
∴x=15/4
当x=15/4时，四边形DEFG为正方形
面积y=x²=(15/4)²=225/16