Question

设△ABC的内角为A ，B， C ，所对的边分别为a ,b,c,,且acosC+1/2c=b。若a=1，求△ABC的周长l的取值范围。

Answer 1

a=1,A=60
b/sinB=c/sinC=a/sinA=2/√3
b+c=2/√3(sinB+sinC)

B=(B+C)/2+(B-C)/2
C=(B+C)/2-(B-C)/2
sinB+sinC=sin[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]+cos[(B+C)/2]sin[(B-C)/2]+sin[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]-cos[(B+C)/2]sin[(B-C)/2]
=2sin[(B+C)/2]cos[(B-C)/2]
B+C=180-A=120
所以sinB+sinC=√3cos[(B-C)/2]

B+C=120
B=120-C>0,0<C<120
所以B-C=2C-120
所以-120<B-C<120
-60<(B-C)/2<60
所以1/2<cos[(B-C)/2]<=1
所以√3/2<sinB+sinC<=√3
b+c=2/√3(sinB+sinC)
所以1<b+c<=2
a=1
所以周长范围是(2,3]