Question

证明：N的N分之一次方的极限为1

Answer 1

记n^(1/n)=1+a(n)，则n=(1+a(n))^n>n(n-1)/2*(a(n))^2，所以0<a(n)<(2/(n-1))^(1/2)对任意ε>0，取N=1+2/ε^2，当n>N时，|n^(1/n)-1|=a(n)<(2/(n-1))^(1/2)<ε，所以lim(n^(1/n))=1。

“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。

数学中的“极限”指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大（或者变小）的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”（“永远不能够等于A，但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果）的过程中，此变量的变化，被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。

极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”（当然也可以用其他符号表示）。以上是属于“极限”内涵通俗的描述，“极限”的严格概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。

Answer 2

记n^(1/n)=1+a(n), 则n=(1+a(n))^n>n(n-1)/2 * (a(n))^2, 所以
0<a(n)<(2/(n-1))^(1/2)
对任意ε>0, 取N=1+ 2/ε^2, 当n>N时
|n^(1/n)-1|=a(n)<(2/(n-1))^(1/2) <ε
所以lim(n^(1/n))=1.

Answer 3

你是大学生吗？
也就是证明（lnn）/n的极限是0了
这个好证呢罗必塔法则
lnn求导为1/n，n求导为1，于是lim（lnn）/n=lim1/n=0

追问

如果不用罗必塔法则呢?这个题目要从微积分的定义去做的。