Question

任何一个定义在关于原点对称的区间上的函数，总可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和。（高等教育出版...

任何一个定义在关于原点对称的区间上的函数，总可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和。（高等教育出版社 微积分第二版上册十七页）这句话对吗，若对请证明，若不对，亦请证明。哪位数学好点的大虾帮我解答一下，谢谢了。

Answer 1

f(x)= g(x)+h(x), 设g是奇函数，h是偶函数
f(-x)=g(-x)+h(-x)=-g(x)+h(x)
两式加一加
f(x)+f(-x)=2h(x), h(x)=[f(x)+f(-x)]/2
两式减一减
f(x)-f(-x)=2g(x), g(x)=[f(x)-f(-x)]/2

Answer 2

设函数是f(x) 构造g(x)=[f(x)-f(-x)]/2 h(x)=[f(x)+f(-x)]/2
显然有f(x)=g(x)+h(x)
而g(-x)=[f(-x)-f(x)]/2=-g(x) 故g(x)是奇函数
h(-x)=[f(-x)+f(x)]/2=h(x) 故h(x)是偶函数