Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点AF⊥CD于H交BC于F,BE//AC交AF的延长线于E，求证：

BC垂直平分DE.

Answer 1

如图：

∵ ∠1+∠2=∠2+∠3=90°

∴ ∠1=∠3

∵Rt△ABC中，AB=AC

∴∠4=∠ACB=45°

又∵BE//AC

∴∠5=∠ACB=45°

∴∠ABE=90°

∵∠1=∠3，∠BAC=∠ABE=90°，AB=AC

∴Rt△ABE≌Rt△ACD

∴BE=AD 

又∵D是AB的中点

∴BE=BD

∵BE=BD ，∠4=∠5=45°BG=BG

∴△BDG≌△BEG

∴∠BGD=∠BGE ，DG=GE

即BC垂直平分DE

Answer 2

证明:AC平行BE,则∠DBE=180度-∠BAC=90度;又∠ABC=45度,则∠DBC=∠EBC.
∠BAE=∠ACD(均与∠CAH互余);∠ABE=∠CAD=90度;AB=AC.得:⊿ABE≌ΔCAD(ASA)
故:BE=AD=BD;
所以,BC垂直平分DE.(等腰三角形顶角的平分线也是底边的高和中线)

Answer 3

设DE交BC于G，先证三角形ADC与三角形BEA全等，再证三角形BGD与三角形BGE全等即可。