Question

已知：如图，BE平分∠FBD，CE平分∠ACD，且交BE于点E。求证：AE平分∠FAC

Answer 1

过E作EP⊥AB交AB于P点，作EQ⊥AB交CB于Q点，作ER⊥AC交AC于R点。
∵BE平分∠ABC，∴EP=EQ
∵CE平分∠ACD，∴EP==EQ
∴EP=ER，这说明E点在∠FAC的平分线上，
即AE平分∠FAC.

Answer 2

过E作EP⊥AB交AB于P点，作EQ⊥AB交CB于Q点，作ER⊥AC交AC于R点。
∵BE平分∠ABC，∴EP=EQ
∵CE平分∠ACD，∴EP==EQ
∴EP=ER，这说明E点在∠FAC的平分线上，
即AE平分∠BE平分∠FBD，即BE平分∠ABC
过点E作EM⊥BD于M，EN⊥BD于N，FO⊥AC于O
已知BE是∠ABC的平分线
∴∠EBM＝∠EBN
∴∠MEB＝∠NEB (等角的余角相等)
又BE＝BE (公共)
∴△BME≌△BNE (ASA)
∴ME＝NE
同理，可得：NE＝OE
∴ME＝OE
在Rt△AME和Rt△AOE中，
ME＝OE (已证)
AE＝AE (公共)
∴△AME≌△AOE (HL)
∴∠MAE＝∠OAE
即AE是∠FAC的平分线 FAC.

Answer 3

BE平分∠FBD，即BE平分∠ABC
过点E作EM⊥BD于M，EN⊥BD于N，FO⊥AC于O
已知BE是∠ABC的平分线
∴∠EBM＝∠EBN
∴∠MEB＝∠NEB (等角的余角相等)
又BE＝BE (公共)
∴△BME≌△BNE (ASA)
∴ME＝NE
同理，可得：NE＝OE
∴ME＝OE
在Rt△AME和Rt△AOE中，
ME＝OE (已证)
AE＝AE (公共)
∴△AME≌△AOE (HL)
∴∠MAE＝∠OAE
即AE是∠FAC的平分线