Question

关于三角形的数学问题

一、在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上的一点（不与B、C）重合，以AD为边在AD的右侧做△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE，设∠BAC=α，∠BCE=β。
（1）点D在线段BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？说明理由。
（2）当点D在直线BC上移动，则α、β之间有怎样的数量关系？直接写出结论。（说明理由+10悬赏分）

二、△ABC是正三角形，三角形BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边与M、N两点，连接M、N，探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以说明。
（2）若MN分别在AB、CA的延长线上，其他条件不变，再探究BM、MN、NC之间的关系，画出图形并说明。
图片为题一

Answer 1

1.(1)α+β=180°.

证明:∠BAC=∠DAE,则∠BAD=∠CAE;(等式性质)

又AB=AC,AD=AE,则⊿BAD≌ΔCAE(SAS),得∠B=∠ACE.

故:∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°.

即α+β=180°.

(2)当点D在直线BC上移动时,右上图:α+β=180°.

证明:∠BAC=∠DAE,则∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD.即∠BAD=∠CAE.

又AB=AC,AD=AE,则⊿BAD≌ΔCAE(SAS),得∠ACE=∠B.

故:∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°.

即:α+β=180°.

2.(1)BM+CN=MN.

证明:延长AC到E,使CE=BM,连接DE.

BD=DC,∠BDC=120°,则∠DBC=∠DCB=30°;又∠ABC=∠ACB=60°.则∠DBA=∠DCA=90°.

故⊿DBM≌ΔDCE(SAS),得DE=DM;∠CDE=∠BDM.

则∠CDE+∠CDN=∠BDM+∠CDN=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°,故∠EDN=∠MDN.

又DN=DN,则⊿EDN≌Δ MDN(SAS),得MN=NE.

∴BM+CN=CE+CN=NE=MN.

(2)当点M在AB延长线上,N在CA延长线上时,(见右下图):BM+MN=CN.

证明:在CA上截取线段CE=BM,连接DE.

∠DCE=∠DBM=90°(已证);CE=BM(所作);DB=DC(已知).则⊿DCE≌ΔDBM(SAS).

得:DE=DM;∠CDE=∠BDM.

故:∠BDM+∠BDE=∠CDE+∠BDE=120°,又∠MDN=60°,则∠EDN=∠MDE-∠MDN=60°.

即∠EDN=∠MDN;又DN=DN.故⊿EDN≌ΔMDN(SAS),得MN=NE.

∴BM+MN=EC+NE=CN.

Answer 2

三角函数中，
tan30°=√3/3
tan60°=√3
sin30°=1/2
cos60
°=1/2直接带进去就得到

这些特殊的角度的三角函数要记住哦

Answer 3

一、
（1）α+β=180°

∠BAD=∠CAE,

AB=AC,AD=AE

△BAD≌△CAE

∠BAD=∠CAE

α+β=∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BAD+∠ACB=180°

（2）α+β=180°，同理证明△BAD≌△CAE即得

二、
(1)MN=CN+BM
延长AB到E,使得BE=CN，连接DE
因为ΔABC是等边三角形，ΔBDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形
所以∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝∠DCB＝30°
BD＝DC
所以∠ABD＝∠ACD＝90°
BD＝DC
BE=CN
所以△BDE 全等于△CDN
所以DE=DN，∠EDB＝∠NDC
又因为∠BDC=120°，∠MDN=60°
所以∠EDB + ∠MDB ＝∠NDC + ∠MDB =∠BDC=120°-∠MDN=60°=60°
所以∠EDM=60°= ∠MDN
DE=DN ； DM =DM
所以△MDE全等于△MDN
所以ME=MN
因为BE=CN
所以MN=MB+BE=MB+NC

(2)MN=CN+BM
若AN=CN，则CN=NP=a/2，CD=BD=PD=a√3/3,CE=a/2
ND^2=CD^2+CN^2=a^2/3+a^2/4=7a^2/12,ND=a√21/6
NF=ND*sin60°=a√7/4,设PM=x,PM:PD=MF:NF
MF=x*√21/4,FD=ND/2=a√21/12===>MD=√21/12(3x+a)
MD^2-MP^2=PD^2=a^2/3=7/48(3x+a)^2-x^2
16a^2+48x^2-63x^2-7a^2-42ax=0；3a^2-5x^2-14ax=0===>x=a/5
MN=a/5+a/2=7a/10；MD=a√21/12(3/5+1)=2a√21/5；
MB^2=MD^2-BD^2=84a/225-a^2/3=a^2/25,MB=a/5
BM+CN=a/5+a/2=7a/10=MN；(3)DM//AC时，∠BDM=∠CDN=30°
△DMN是正三角形，DN=CD/cos30°=2a/3=MN
CN=BM=ND/2；显然MN=BM+CN

追问

第二问第二小题能用初二知识回答吗=、=