Question

如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，E，F分别在OA，OB上，且OE=OF，证明BE⊥CF

Answer 1

证明：延长CF交BE于G。
因为 BCD是正方形，
所以 角BOE=角COF=直角，且OB=OC，
又因为 OE=OF，
所以 三角形BOE全等于三角形COF（H。L）
所以 角OBE=角OCF，
因为 角BOE是直角，
所以 角OBE+角OEB=90度，
所以 角OCF+角OEB=90度
所以 角CGE=90度，
所以 BE垂直于CF。

Answer 2

证明：延长CF与BE交与点G，
由OE=OF，OB=OC，以及角COF=角BOE，可以证明⊿COF≌⊿BOE。
所以有角OCF=角OBE。
又在⊿COF与⊿BGF中，对顶角相等。所以进一步得到：角COF=角BGF
而正方形对角线相互垂直，即角COF=90°。
所以角BGF=90°，即CG⊥BE，亦即E⊥CF。

Answer 3

因为正方形的两条对角线是互相垂直的，所以在这对角线上的点到四个角的线也会垂直的。（有的会重合）