Question

如果函数y=ax^2+(a-3)x+1的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，试求实数a的范围

Answer 1

解：
a>0时，1/a>0，此时，函数与x轴的两交点横坐标同号，
所以要使函数y=ax^2+(a-3)x+1的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则
须使-(a-3)/2a>0，
即，a<3，
a=0时，函数y=ax^2+(a-3)x+1变成了一次函数y=1-3x，当y=0时，x=1/3，满足题意，
a<0时，1/a<0，此时，函数与x轴的两交点横坐标异号，
所以要使函数y=ax^2+(a-3)x+1的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，则
当x=0时，y>0，
即1>0，恒成立，
综上所述，实数a的范围为，a<3.

追问

不用考虑△吗

追答

啊呀呀，把它给忘了，加上就是。
△=(a-3)^2-4a≥0，
即a≥9或a≤1
所以a的取值范围为a≤1.

Answer 2

y=ax^2+(a-3)x+1

a=0时，y=-3x+1，令y=0，x=1/3，符合与x轴有一个交点在原点右侧的要求

a≠0时，令y=0，x= { - (a-3)±√[(a-3)^2-4a] } /(2a)

如果a＞0：
x2= { - (a-3)+√[(a-3)^2-4a] } /(2a) ＞ 0
- (a-3)+√[(a-3)^2-4a] ＞ 0
√[(a-3)^2-4a] ＞ a-3无解

如果a＜0：
x2= { - (a-3)+√[(a-3)^2-4a] } /(2a) ＞ 0
- (a-3)+√[(a-3)^2-4a] ＜ 0
√[(a-3)^2-4a] ＜a-3
(a-3)^2-4a ＜(a-3)^2
4a＞0，无解

综上，a=0