Question

设曲线y=(ax-1)e^x在点A（x0,y1)处得切线为L1

设曲线y1=(ax-1)e^x在点A(x0,y1)处的切线为l1,曲线y2=(1-x)e^-x在点B(x0,y2)处的切线为l2.若存在0≤x0≤3/2,使得l1⊥l2,求a的取值范围。要过程谢谢。

Answer 1

解：先求导，y1′=(ax+a-1)e^x y2′=(x-2)e^(-x)
据题意，存在0≤x0≤3/2，使得(ax0+a-1)e^x0 •(x0-2)e^(-x0)=-1
化简，即 f(x)=ax^2-(a+1)x+3 在0≤x≤3/2上有实数根。
当a=0时，令f(x)=0,解得x=3 不合题意
故a≠0，f(x)为一元二次函数，且f(0)=3>0,故
①当f(3/2)≤0时，f(x)=ax^2-(a+1)x+3 在0≤x≤3/2上一定有实数根
f(3/2)=3a/4+3/2 ≤0 所以，a≤ -2
②当f(3/2)>0时，要使f(x)=ax^2-(a+1)x+3 在0≤x≤3/2上有实数根，只需
0≤(a+1)/2a<3/2 且f[(a+1)/2]≤0
解0≤(a+1)/2a<3/2 得，a≤-1 或 a>0
解f[(a+1)/2]=-(a^2-10a+1)/(4a)≤0 得，0<a≤5-2√6 或a≥5+2√6
综上所述，a的取值范围是：a≤ -2 或a≥5+2√6.

Answer 2

解：函数y=（ax-1）ex的导数为y′=（ax+a-1）ex，
∴l1的斜率为k1=(ax0+a-1)ex0，
函数y=（1-x）e-x的导数为y′=（x-2）e-x
∴l2的斜率为k2=(x0-2)e-x0，
由题设有k1•k2=-1从而有(ax0+a-1)ex0•(x0-2)e-x0=-1
∴a（x02-x0-2）=x0-3
∵x0∈[0，3 2 ]得到x02-x0-2≠0，所以a=x0-3 x 20 -x0-2 ，
又a′=-(x0-1)(x0-5) (x 02 -x0-2)2 ，另导数大于0得1＜x0＜5，
故x0-3 x 20 -x0-2 在（0，1）是减函数，在（1，3 2 ）上是增函数，
x0=0时取得最大值为0-3 02-0-2 =3/2 ；
x0=1时取得最小值为1．
∴1≤a≤3 2故答案为：1≤a≤3/2

Answer 3

：函数y=（ax-1）ex的导数为y′=（ax+a-1）ex，
∴l1的斜率为k1=(ax0+a-1)ex0，
函数y=（1-x）e-x的导数为y′=（x-2）e-x
∴l2的斜率为k2=(x0-2)e-x0，
由题设有k1•k2=-1从而有(ax0+a-1)ex0•(x0-2)e-x0=-1
∴a（x02-x0-2）=x0-3
∵x0∈[0，32]得到x02-x0-2≠0，所以a=x0-3x02-x0-2，
又a′=-(x0-1)(x0-5)(x20-x0-2)2，另导数大于0得1＜x0＜5，
故x0-3x02-x0-2在（0，1）是减函数，在（1，32）上是增函数，
x0=0时取得最大值为0-302-0-2=32；
x0=1时取得最小值为1．
∴1≤a≤32
故答案为：1≤a≤32

Answer 4

我隐约月经拉