Question

一道高二数学关于椭圆的题目

点P为椭圆x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）上任意一点，异于顶点，椭圆短轴的两个端点分别是B1,B2,若直线PB1，PB2分别与x轴交于点M,N求证：OM*ON为定值

Answer 1

证明：
设 p点为（x0，y0）
则：x0²/a²+y0²/b²=1，整理后为：b²x0²+a²y0²=a²b² ，
后面会用到它的变形 -b²x0²=a²y0²-a²b² （1）
直线B1M: (y0-b)/x0=y-b/x，与x轴交点M的横坐标为：-bx0/（y0-b） /即y=0，解出的x/
同理N坐标为：bx0/(y0+b)
OM*ON=-b²x0²/(y0²-b²) 带入（1）得：OM*ON=a²。