Question

当函数y=f'(x)=x^2-4ax-2x+3a^2+6a在(0,4)上有唯一的零点时,求实数a的取值范围

Answer 1

根据数形结合，若在（0,4）上有唯一的零点，则有两种情况：
第一种：f(0)f(4)<0,
f(0)=3a^2+6a=3a(a+2),
f(4)=16-16a-8+3a^2+6a=3a^2-10a+8=(3a-4)(a-2)。
则有，
3a(3a+2)(3a-4)(a-2)<0，再由标根法，得a的取值范围是(-2/3,0)υ(4/3,2)
第二种：函数的顶点在x轴上；
此时，方程y=0有两个等根，由判别式
4ac-b^2=4(3a^2+6a)-(4a+2)^2=0
所以：此时a=1
综上：a的范围是(-2/3,0)U(4/3,2)或a=1

Answer 2

根据数形结合，若在（0,4）上有唯一的零点，则有f(0),f(4)异号，即f(0)f(4)<0,f(0)=3a^2+6a=3a(a+2),f(4)=16-16a-8+3a^2+6a=3a^2-10a+8=(3a-4)(a-2)。则有，3a(3a+2)(3a-4)(a-2)<0，即由根轴法，得a的取值范围是(-2/3,0)υ(4/3,2)

Answer 3

区间[-1,1]上有零点
∴f（-1）f（1）≤0
∴2≤a≤6

Answer 4

区间[-1,1]上有零点
∴f（-1）f（1）≤0
∴2≤a≤6

Answer 5