Question

设函数f（x）=-x2+4ax-3a2（1）当a=1，x∈[-3，3]时，求函数f（x）的取值范围；（2）若0＜a＜1，x∈[1-a

设函数f（x）=-x2+4ax-3a2（1）当a=1，x∈[-3，3]时，求函数f（x）的取值范围；（2）若0＜a＜1，x∈[1-a，1+a]时，恒有-a≤f（x）≤a成立，试确定a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=-x²+4x-3=-（x-2）²+1
∵f（x）在[-3，2]上单调递增，在[2，3]上单调递减
∴当x=2时，函数有最大值1，当x=-3时，函数有最小值-24
∴-24≤f（x）≤1
（2）∵0＜a＜1，二次函数的对称轴x=2a，则2a＜1+a
①当2a＜1-a即0＜a＜

1

3

时，
f（x）_min=f（1+a）=2a-1，f（x）_max=f（1-a）=-8a²+6a-1
此时，

?8a2+6a?1≤a 2a?1≥?a 1 3 ≤a＜1

，此时a不存在
②当2a＞1-a，即1＞a＞

1

3

时，二次函数的对称轴x=2a∈[1-a，1+a]
根据二次函数的性质可知，当x=2a时，函数有最大值f（2a）=a²，
f（x）_min=min{f（1-a），f（1+a）}
若f（x）_min=f（1-a）=-8a²+6a-1
此时有

?8a2+6a?1≥?a a2≤a a≥ 1 2

，解可得

1

2

≤a≤

7+ 17

16

若f（x）_min=f（1+a）=2a-1
此时有，

2a?1≥?a a2≤a 0＜a＜ 1 2

解可得

1

3

≤a＜

1

2

综上可得，

1

3

≤a≤

7+ 17

16