Question

如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，移动点P从C出发沿着CB方向以1cm/s的速度运动

另移动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）
（1）当t为几秒时，△PCQ的面积是三角形ABC的四分之一？
（2）△PCQ的面积能否为△面积的一半？若能，求出t的值，若不能，说明理由。
4.某水果经销商上月份销售一种新上市的水果，平均售价为10元/千克，月销售量为1000千克。经市场调查，若奖该水果价格调低至x元/千克，则本月份销售量y（千克）与x（元/千克）之间符合一次函数式y=kx+b。当x=7时，y=2000，当x=5时，y=4000.
（1）求y与x之间的函数关系式
（2）已知该种水果上月份的成本价为5元/千克，本月份的成本价为4元/千克，要使本月份销售该种水果所获利润比上月份增加20%，同时又要让顾客得到实惠，那么该种水果价格每千克应调低至多少元？（利润=售价-成本）

Answer 1

题1：本题关键是求得△PCQ的面积表达式（为表达方便记为S2，△ABC的面积记为S1）
S1 = (1/2) × AC × BC = 1/2 × 8 × 4 = 16 cm²
S2 = (1/2) × CP × CQ = 1/2 × CP × (AC - AQ) = 1/2 × (1×t) × (8 - 2×t) = - t² + 4t
（1） 由 S2 = (1/4) × S1 可得
- t² + 4t = (1/4) × 16 = 4
即 t² - 4t + 4 = 0
得到两同根，t = 2，即当 t = 2s时，△PCQ的面积是三角形ABC的四分之一。
（2）与（1）类似，可设 t 秒后△PCQ的面积为△面积的一半，即S2 = (1/2) × S1 可得
- t² + 4t = (1/2) × 16 = 8
即 t² - 4t + 8 = 0
因判别式 △ = b² - 4ac = 16 - 4 × 8 = -16 < 0
则上述方程无实根，因此，△PCQ的面积不可能为△面积的一半。

题2： 本题总体不难，关键是理解题意
（1）比较简单，y=kx+b，且有两组数据，因此分别代入后可以连立方程组，确定方程中两个未知数，k和b
2000 = 7k + b
4000 = 5k + b
可解得，k = -1000，b = 9000
即 y = -1000x + 9000

（2）本小题理解利润的意义后就好算，利润=售价-成本 = （售价 - 进价）× 销售量
设本月售价为x（元/千克），销量为y（千克）
则本月利润 = (x - 4) × y = (x - 4) × (-1000x + 9000) = - 1000x² + 13000x - 36000
而本月利润要比上月增加20%，
上月利润 = (10 - 5) × 1000 = 5000（元）
本月利润要比上月增加20%，即
本月利润 = (1 + 20%) × 上月利润 = (1 + 20%) × 5000 = 6000（元）
因此 - 1000x² + 13000x - 36000 = 6000
即 x² - 13x + 42 = 0
可解得两个根，x1 = 6，x2 = 7
即售价6元或者7元都能满足增加利润20%的目标，根据题意，要让顾客得到实惠，那么应该售价较低，因此售价6元/千克即本题的解。