Question

如图，△ABC为等边三角形，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，BO，CO的垂直平分线交BC于点E和F.

如图，△ABC为等边三角形，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，BO，CO的垂直平分线交BC于点E和F，垂足分别为M，N.求证：BE=EF=FC.

Answer 1

连接OE，OF
∵DE垂直平分OB
∴BE=DE（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）
同理OF=CF
∴∠EBO=∠BOE，∠FCO=∠FOC

∵等边三角形ABC中
∴∠ABC=∠ACB=60°（等边三角形各角相等且为60°）
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴∠EAO=½∠ABC=30°，∠FCO=½∠ACB=30°
∴∠BOE=∠EBO=30°，∠FOC=∠FCO=30°
∴∠BEO=∠BOE+∠EBO=60°
∠OFC=∠FOC+∠FCO=60°

∴△OEF是等边三角形（有两个内角60°的三角形是等边三角形）
∴OE=OF=EF（等边三角形各边相等）
∴BE=EF=FC
即E，F是BC的三等分点

Answer 2

证明：连接OE，OF
在等边三角形ABC中．
∵∠B、∠C的平分线交于点O，OB和OC的垂直平分线交BC于E、F，
∴∠OBC=∠OCB=30°，OE=BE，OF=FC．
∴∠OEF=60°，∠OFE=60°．
∴OE=OF=EF．
∴BE=EF=FC．