Question

一道高中数学题。高手解决下。

已知函数f(x)=lnx+1/x+ax,x∈(0,∞),(a为常实数),求:若f(x)在「2,∞)上是单调函数,求a的取值范围.

Answer 1

f'(x)=1/x-1/x^2+a
1>单调递增，1/x-1/x^2+a≥0恒成立，则a≥1/x^2-1/x
令g(x)=1/x^2-1/x
则g‘(x)=-2/x^3+1/x^2=(x-2)/x^3≥0
故最大值为x趋向无穷大时，即x→+∞时，此时g(x)=0，则a≥0
2>单调递减，0≥1/x-1/x^2+a恒成立，即
g(x)最小值≥a,而由上可得g(x)≥g(2)=1/4-1/2=-1/4
则-1/4≥a
综上所述，a≥0或a≤-1/4