Question

在锐角三角形ABC中，角A，B，C对应的边为a，b，c且B=π/3求2sin^2A+cos（A-C)的取值范围

Answer 1

因为B=π/3，所以A+C=2π/3即C=2π/3 -A
则2sin²A+cos（A-C)
=1-cos2A +cos(2A-2π/3)
=1-cos2A +cos2Acos(2π/3)+sin2Asin(2π/3)
=1-(3/2)cos2A+(√3/2)sin2A
=1-√3*(√3/2 *cos2A-1/2 *sin2A)
=1-√3*cos(2A+π/6)
因为0<A<π/2，则0<2A<π
所以π/6<2A+π/6<7π/6
则当2A+π/6=π即A=5π/12时，cos(2A+π/6)有最小值-1，此时1-√3*cos(2A+π/6)有最大值1+√3；
又因为2A+π/6>π/6，所以cos(2A+π/6)<√3/2即1-√3*cos(2A+π/6)>-1/2
所以2sin²A+cos（A-C)的取值范围是(-1/2,1+√3]

Answer 2

那个，这个回答好像是错的诶。。。。。。
应该是：

A-C=A-(2π/3-A)=2A-2π/3
cos(A-C)=cos(2A-2π/3)=√3/2 * sin2A - 1/2 * cos2A
2sin^2(A)=1-cos2A
所以2sin^2A+cos(A-C)
=√3/2 * sin2A - 3/2 * cos2A + 1
=√3* sin(2A-π/3)+1
又因为锐角三角形且A与C之和应小于120度，所以A只能在（30度，90度）之间（开区间）
那么当A趋近30度时有最小值1，取不到
当A为75度时有最大值√3+1，可取到
所以取值范围（1，√3+1]