Question

高中基本不等式求最大最小值

（1）y=2x²+3/x（x大于0）的最小值。
（2）已知a，b为常数，求y=（x-a）²+（x-b）²的最小值
麻烦写下过程，需要这种例题的解法过程。

Answer 1

（1）y=2x²+3/x（x大于0）的最小值。
x>0
则y=2x²+3/(2x)+3/(2x)≥3 [2x²*3/(2x)*3/(2x)]^(1/3) (这是由a+b+c≥3（abc)^(1/3)得到的)
=3（9/2)^(1/3)
=3/2*36^(1/3)
当且仅当2x²=3/(2x)时取等号即x=(3/4)^(1/3)=1/2*6^(1/3)
^(1/3)表示开立方根。

（2）已知a，b为常数，求y=（x-a）²+（x-b）²的最小值
根据a²+b²≥(a+b)²/2
y=（x-a）²+（x-b）²
=(x-a)²+(b-x)²
≥(x-a+b-x)²/2
=(b-a)²/2
当且仅当x-a=b-x即x=(a+b)/2时取等号。

Answer 2

1）y=2x²+3/x=2x²+3/(2x)+3/(2x)>=3三次根号下（9/2)，等号成立条件，当且仅当2x²=3/(2x)
2）y=（x-a）²+（x-b）²>={[(x-a)+(b-x)]^2}/2=[(a+b)^2]/2