Question

在公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}中，，已知a1=b1=1，a2=b2，a6=b3； 求数列｛an.bn｝的前n项和S

an=3n-2;bn=a^(n-1)

Answer 1

a2=1+d，a6=1+5d
由于a1、a2、a6是等比数列{bn}的前三项，所以1+5d=(1+d)^2，得d=3(公差不为零)，因此
{bn}的公比为q=4，故an=1+(n-1)*3=3n-2；bn=1*4^(n-1)=4^(n-1)
考虑到an.bn=(3n-2).[4^(n-1)]=(3n-2)+0.[4^(n-1)]=(3n-2)+4^(n-1)/10
所以数列｛an.bn｝的前n项和Sn就是等差数列{3n-2}的前n项和与等比数列{4^(n-1)/10}的前n项和的和，即
Sn=[1+(3n-2)]*n/2+(1/10)[1*(1-4^n)/(1-4)]=n(3n-1)/2+(4^n-1)/30

追问

错位相减法的解法有没有

追答

对于本题来说选择等比数列求和公式直接计算即可。
错位相减法适用于以下类型的数列：cn=an/bn，其中an是等差数列，bn是等比数列。
例如数列{n/(2^n)}，它的前n项和就可以利用错位相减法计算如下：
Sn=1/2+2/4+3/8+……+n/(2^n)
(1/2)Sn=1/4+2/8+3/16+……+(n-1)/(2^n)+n/[2^(n+1)]
两式相减得：(1/2)Sn=1/2+1/4+1/8+……+1/(2^n)-n/[2^(n+1)]
即(1/2)Sn=1-1/(2^n)-n/[2^(n+1)]
故Sn=2-1/[2^(n-1)]-n/(2^n)