证明:Sin42°-cos12°+sin54°=½
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sin42°-cos12°+sin54°
=sin42°-sin78°+cos36°
=2sin(-18°)cos60°+1-2(sin18°)^2
=1-sin18°-2(sin18°)^2
=1-(√5-1)/4-2[(√5-1)/4]^2
=1-(√5-1)/4-2[(5-2√5+1)/16]
=1-(√5-1)/4-(3-√5)/4
=1/2。 证明完毕。
下面证明:sin18°=(√5-1)/4。
∵sin36°=cos54°,∴sin(2×18°)=cos(3×18°),
∴2sin18°cos18°=4(cos18°)^3-3cos18°。
显然,cos18°>0, ∴2sin18°=4(cos18°)^2-3=4-4(sin18°)^2-3,
∴4(sin18°)^2+2sin18°-1=0,∴(2sin18°)^2+2sin18°-1=0。
显然,sin18°>0,∴2sin18°=[-1+√(1+4)]/2。 [只取正号,否则sin18°<0]
∴sin18°=(√5-1)/4。
=sin42°-sin78°+cos36°
=2sin(-18°)cos60°+1-2(sin18°)^2
=1-sin18°-2(sin18°)^2
=1-(√5-1)/4-2[(√5-1)/4]^2
=1-(√5-1)/4-2[(5-2√5+1)/16]
=1-(√5-1)/4-(3-√5)/4
=1/2。 证明完毕。
下面证明:sin18°=(√5-1)/4。
∵sin36°=cos54°,∴sin(2×18°)=cos(3×18°),
∴2sin18°cos18°=4(cos18°)^3-3cos18°。
显然,cos18°>0, ∴2sin18°=4(cos18°)^2-3=4-4(sin18°)^2-3,
∴4(sin18°)^2+2sin18°-1=0,∴(2sin18°)^2+2sin18°-1=0。
显然,sin18°>0,∴2sin18°=[-1+√(1+4)]/2。 [只取正号,否则sin18°<0]
∴sin18°=(√5-1)/4。
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