Question

数列题，求高手啊！ 设Sn是数列{an}的前n 项和,an是Sn和2的等差中项，｛an}的通项公式an=2^n

(1)当1≤i≤j≤n，（i,j,n均为正整数）时，求ai和aj的所有可能的成绩ai*aj之和Tn
（2）设M=( 2/T1)+(2^2/T2)+…+（2^n/Tn)(n∈N+），求证1/2≤M<3/4

Answer 1

解：（1）第一问是在于理解。取决定因素的是j，而j一旦确定，i就从1变化增大到j，所以Tn的一个单项（新数列bn）为aj*a1+aj*a2+……aj*aj(这个整体是新数列bn的一项，是第j项，因j而变的)，那么Tn=从1到N角标为j的每一项的和：Tn=Σ（1到n）aj*（Σ（1到j）aj）
=Σ（1到n）[2^（2j+1）-2^(j+1)]=[2^(2n+3)]/3-2^（n+2）+4/3
(2)第二问很给力啊。把（1）中得到通项公式带入（2）中。上下同乘以3，然后把3/4常数项给提出来，分母你把2^n看成x，你发现能因式分解：变成这样(3/4)* (2^n)/(2*(2^n) -1)*((2^n)-1),兴奋滴看到了3/4的踪影。而3/4右边的这个大式子正好可以列项。(2^n)/(2*(2^n) -1)*((2^n)-1),=1/*((2^n)-1)- 1/(2*(2^n)-1),(就先换成x更直白)更兴奋了，这两项就是数列bn= 1/((2^n)-1)的第n项和n+1项了么？
这就跟1/n(n+1)列项展开为1/n - 1/(n+1) 不是一个道理么，加的时候中间前后重复的项都消去了不是？比葫芦画瓢， 掐头去尾，M=(3/4)*[1 - 1/(2*(2^n)-1),] ,很直观看到，后面的带n的数有最大值时，M有最小值， 分母最小时不正符合题意么？n=1，带入，Mmin=1/2;
而后面的那个恒大于0.所以，M<(3/4）*1=3/4
此题应为数列压轴题，而你记住，如果只有一组不等式，往往采用放缩的方法，而有两组不等式针对同一个数列和时，往往采用列项相消的方法。而上了大学，或者告诉你一个很万金油的做法就是利用函数，把数列归纳到函数，求导，得值域。但应依照情况而定。
我的回答你满意么？

追问

我觉的你第一问的通项的结果上，好象算错了吧，我算的是2^(2n+2)-2^(n+3)+4

追答

谁对谁错言之尚早，ai*aj,你怎么理解的？，题目说的是所有可能，如果你仔细看我的分析，你会知道，这就是计算机里的编程里常见的计算元素个数的算法：这样，我举个例子便于你理解。i的范围由j确定，他说所有可能。我们举j=2，i为多少呢？1,2也就是 新数列B2=a1a2+a2a2
j=3，i=1,2,3 （都满足啊，所有可能啊）B3=a1a3+a2a3+a3a3（如果这一步你不能理解，你想象一下i是由j而决定的。小于等于不能只有等于，小于的也都满足，j可以由1到n变化，而一旦确定了j，i只能在[1,j]这个区间内取值，而且是每一个整数值）
Bj=aj（a1+a2+……aj） j换成n，不就是一个意思吗。此即为数列的通项真相！
Tn=ΣBn
你说此题谁的答案对？而且你没清楚了解第一问，很可能上来就做错。最后一题最多只能拿2分啊。 题目有一个字误导你了，我明白了！“ai和aj的所有可能乘积ai*aj之和Tn” 拜托！第一个“和”表示并列啊，不表示加在一起啊！in English ，that means “ai and aj”，我说怎么楼下都算成（a1+a2+……an）（a1+a2+……an），那问题还用那么拗口吗，不妨直接说Sn²，还那么多字。 呵呵，数学学得好不好，不能会算，你也得语文过硬啊！！！！

Answer 2

解：(1)a1=2，an=2^n，2an=Sn+2，Sn=2*2^n-2=2(2^n-1)
Tn=(a1+a2+a3+...+an)^2=(2+2^2+2^3+...+2^n)^2=[2*(2^n-1)]^2=2^(2n+2)-2^(n+3)+4
(2)T1=4，T2=36，T3=196，...，Tn=2^(2n+2)-2^(n+3)+4
∵n≥1，(2^n-1)^2>0，∴2^(2n)-2^(n+1)+1>0，2^(2n)+1>2^(n+1)，两边乘以4，得到
2^(2n+2)+4>2^(n+3)，2^(2n+2)-2^(n+3)+4>0，Tn>0。
M=2/T1+4/T2+8/T3+...+2^n/Tn
=1/2+1/9+2/25+...+2^n/Tn
∵Tn>0，n≥1，∴M≥2/T1=1/2。

M=1/2+1/9+2/49+...+2^n/[2^(2n+2)-2^(n+3)+4]

Answer 3

(1) 已知,an是Sn和2的等差中项
则Sn+2=2an Sn=2an-2
n=1时 S1=2a1-2 解得a1=2
n>1时 S(n-1)=2a(n-1)-2
所以an=Sn-S(n-1)=2an-2a(n-1)
即an=2a(n-1)
所以{an}是公比为2的等比数列
故an=2*2^(n-1)=2^n
Sn=2an-2=2^(n+1)-2
(1) 当1≤i≤j≤n，（i,j,n均为正整数）时，求ai和aj的所有可能的成绩ai*aj之和Tn
即Tn=(a1+a2+....+an)(a1+a2+...+an)
=Sn×Sn
=[2^(n+1)-2]*[2^(n+1)-2]
=4(2^n-1)²
=4[2^(2n)-2^(n+1)+1]
(2) 由(1)知Tn=4(2^n-1)²>0
当n=1时 2/T1=2/[4(2^2-2^2+1)]=1/2
当n>1时 2^n-2^(n-1)=2^(n-1)≥2
即2^n-2≥2^(n-1)
2^n/Tn=(1/4)*2^n/[2^(2n)-2^(n+1)+1]
<(1/4)*2^n/[2^(2n)-2^(n+1)]
=(1/4)*[1/(2^n-2)]
≤(1/4)*(1/2)^(n-1)
M=( 2/T1)+(2^2/T2)+…+（2^n/Tn)
=1/2+4/[4(2^4-2^3+1]+....+2^n/{4[2^(2n)-2^(n+1)+1]
>1/2
M=( 2/T1)+(2^2/T2)+…+（2^n/Tn)
<1/2+(1/4)*(1/2)+(1/4)*(1/2)^2+....+(1/4)*(1/2)^(n-1)
=1/2+(1/4)*(1/2)*[1-(1/2)^(n-1)]/(1-1/2)
=1/2+(1/4)*[1-(1/2)^(n-1)]
=1/2+1/4-(1/2)^(n+1)
=3/4-(1/2)^(n+1)
<3/4
所以1/2<M<3/4
得证

追问

能解释下这一步的原因吗
=(1/4)*[1/(2^n-2)]
≤(1/4)*(1/2)^(n-1)

追答

前面推出的
当n>1时 2^n-2^(n-1)=2^(n-1)≥2
即2^n-2≥2^(n-1)