Question

已知数列{an}的前n想和为Sn,且an是Sn与2的等差中项，求an的通项公式

Answer 1

因为
an是sn与2的等差中项，所以sn+
2=2an
在
sn+
2=2an
中令
n=1，得a1+
2=2a1
,a1=2
因为
sn+
2=2an
所以
sn-1+
2=2an-1
（n≥2)
(n-1为下标）
两式相减，得
an=2an
-2an-1
an=2an-1
又a1=2≠0
所以
{an}是以公比为2的等比数列，
所以
an=a1•2^(n-1)
=2^n

Answer 2

由题意a<n>是S<n>与2的等差中项可知
2a<n>=S<n>+2
（1）
则
2a<n+1>=S<n+1>+2
（2）
（2）-（1）得
2a<n+1>-2a<n>=S<n+1>+2-S<n>+2
即
2a<n+1>-2a<n>=S<n+1>-S<n>（3）
因为S<n+1>-S<n>=a<n+1>
（4）
将（4）带入（3）得
2a<n+1>-2a<n>=a<n+1>即
a<n+1>=2a<n>
可见数列{a<n>}是等比数列，q=2
当n=1时，S<1>=a<1>,带入（1）可得a<1>=2
将a<1>=2,q=2带入公式：a<n>=a<1>*q^(n-1)可得
a<n>=2^n
补充：<>以内为下标