Question

在矩形ABCD中,AB=6,BC=2根号3,沿对角线BD将△ABD向上折起，使A移至P点，且点P在平面BCD上的射影O在DC上

证明PD垂直PC

Answer 1

应该是证明PO⊥PC，因为PB⊥PC，∠cpd>∠dpb=90°，所以题目你可能超不对了
折上去过P做PH⊥于BD交DC于O
已知给的三角形你用勾股定理一算发现角CDB=30°∠CBD=60°（斜边长4根号3，是直角边的2倍）∠PBD=30°（折上去的，俩三角形相等）∠CBP=60°-30°=30°BP交DC于M CM=2
在△PDH中和△PDB，做的垂线PH，DH=PD/2=根号3，DO=2 OM=2 三等分点都出来了。
PO=3 OH=1 PO=2 OC=OM+MC=4 （对题目没有太多的辅助作用，只是一些结论，帮助你遇到这道题时，问法考点换了，但是哪些数量关系是什么样的还能继续弄明白）
最直观的是角PMC=∠POC=60°
△POM是等边三角形 PM=OM=MC 我们只用到最后一点小结论，等腰三角形PMC中角PCO=30°
∠CPH=90°
说的罗嗦了，但是这个对折问题以后再出出来，你会很清楚迅速地发现所有数量关系，相似关系，慢慢体会吧

Answer 2

解：【1】PO⊥平面BCD
CO即PC在平面BCD内的投影，连接BO
据已知，BP=CD=6，BC=PD=2√3
BD^2=PB^2+PD^2=BC^2+CD^2=36+12=48
BD=4√3
设PO=x，有，PD^2-x^2=OD^2......1)
PB^2-x^2-BC^2=(6-OD)^2.........2)
解得：PO=2√2
所以，OC=√（36-8-12）=4

OD=2
过O作OE⊥BD于E，由于PO⊥平面BCD，则PO⊥BD

∴ BD⊥平面POE，BD⊥PE
∴ ∠PEO即为所求二面角P-DB-C
cos∠PEO=OE/PE
∵ RtΔOED∽RtΔBCD
则，OE:BC=OD:BD，OE=(OD/BD)*BC=1
PE^2=OE^2+PO^2=9,PE=3
cos∠PEO=OE/PE=1/3
【2】在RtΔOEP中，作OF⊥PE
∵ DE⊥平面PEO，即DE⊥OF
∴ OF⊥平面PDE（即平面PBD
∴ OF⊥FD
∠ODF=直线CD与平面PBD所成角
RTΔPEO中，OF⊥PE
1/OF^2=1/OE^2+1/OP^2
OF^2=OE^2*OP^2/(OE^2+OP^2)

=1*8/(1+8)=8/9
OF=2√2/3
sin∠ODF=OF/OD=√2/3