Question

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a>0)，方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足o 设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a>0)

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a>0)，方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足o

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a>0)，方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足o<x1<x2<1/a。当x∈(0,x1)时，求证:x<f(x)<x1

Answer 1

令F(x)=f(x)-x,则F(x)=a(x-x1)(x-x2)
当x∈(0,x1)时,x1<x2,
∴(x-x1)(x-x2)>0,而a>0
∴F(x)=a(x-x1)(x-x2)>0,即x<f(x)
x1-f(x)
=x1-[x+F(x)]
=x1-x+a(x-x1)(x-x2)
=(x1-x)[1+a(x-x2)]
∵0<x<x1<x2<1/a,
∴x1-x>0,1+a(x-x2)=1+ax-ax2>1-ax2>0
∴x1-f(x)>0,即f(x)<x1

所以x<f(x)<x1

追问

=x1-x+a(x-x1)(x-x2) 应该是=x1-x-a(x-x1)(x-x2)吧