Question

过椭圆3x^2+4y^2=48的左焦点引直线交椭圆于A、B两点,若绝对值AB=7,则此弦所在的直线方程是？

Answer 1

3x^2+4y^2=48
即x^2/16+y^2/12=1
a^2=16,b^2=12,c^2=4
因此左焦点（－2,0）
过左焦点的直线为y=k(x+2),代入椭圆方程得
3x^2+4(kx+2k)^2=48
(4k^2+3)x^2+16k^2x+16k^2-48=0
(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1x2=[-16k^2/(4k^2+3)]^2-4(16k^2-48)/(4k^2+3)
AB^2=(k^2+1)*(x1-x2)^2
=(k^2+1)*{[-16k^2/(4k^2+3)]^2-4(16k^2-48)/(4k^2+3)}=7^2
这个题目到此很变态。
换一个思路，我们知道，椭圆上一点到焦点与焦点对应准线的距离之比等于离心率，也就是椭圆上一点到焦点的距离等于点到对应准线距离乘以离心率，因此有
(x1+a^2/c)*c/a+(x2+a^2/c)*c/a=7
c/a(x1+x2)+2a=7
2/4*{-16k^2/(4k^2+3)]}+2*4=7
16k^2/(4k^2+3)=2
8k^2/(4k^2+3)=1
8k^2=4k^2+3
4k^2=3
k=±√3/2
因此直线方程为y=±√3/2(x+2)

Answer 2

利用焦点半径来解决，设点F为焦点，A(x1,y1)B(x2,y2)
则AB=AF+BF=(a+ex1)+(a+ex2)=2a+e(x1+x2)=8+[(x1+x2)/2]=7 ....(1)
设过左焦点的直线为y=k(x+2),代入3x^2+4y^2=48,消y得(4k^2+3)x^2+16k^2x+16k^2-48=0
故x1+x2=-16k^2/4k^2+3 ....(2)
由（1）（2）得k=±(根号3)/2
所以y=[±(根号3)/2](x+2),所以为y=(根号3)/2]x+（根号3）或者y=(-根号3)/2]x+（-根号3）