Question

双曲线x^2-y^2=1的弦中点(2,1)所在的直线方程是????

Answer 1

差分法解决：
设端点A(x1,x2),B(x1,x2),端点A、B坐标代入双曲线方程x^2-y^2=1中，得x1^2-y1^2=1及x2^2-y2^2=1，两式相减，再用平方差公式得
（x1+x2）(x1-x2)-（y1+y2）(y1-y2)=0;因为P（1，1）为AB中点，所以（x1+x2）=4，（y1+y2）=2,
故斜率(y1-y2)/(x1-x2)=2.
所以直线方程为y=2(x-2)+1=2x-3,
检验：与x^2-y^2=1联立方程消去y以后的一元二次方程△>0.
所以直线为y=2x-3

Answer 2

设弦端点A(x1,x2),B(x1,x2),端点A、B坐标代入双曲线方程x^2-y^2=1中，得x1^2-y1^2=1及x2^2-y2^2=1，两式相减，再用平方差公式得
（x1+x2）(x1-x2)-（y1+y2）(y1-y2)=0;
因为P（1，1）为AB中点，所以（x1+x2）=2，（y1+y2）=2,
代入上面式子中，得到2（x1-x2)=2（y1-y2），所以AB的斜率k=1;从而得弦AB方程为：y=x
但是，y=x是双曲线x^2-y^2=1的渐近线，不会和双曲线有交点，所以该题无解。