如图,已知BP、CP是△ABC的外角平分线,证明点P必在∠BAC的平分线上
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考点:角平分线的性质.
分析: 分别过点P作PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F.根据角平分线的性质证明PD=PF,再根据角平分线性质定理的逆定理证明点P必在∠BAC的平分线上
解答: 解:分别过点P作PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F.
∵BP、CP是△ABC的外角平分线,
∴PD=PE,PE=PF,
∴PD=PF.
∴点P必在∠BAC的平分线上.
分析: 分别过点P作PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F.根据角平分线的性质证明PD=PF,再根据角平分线性质定理的逆定理证明点P必在∠BAC的平分线上
解答: 解:分别过点P作PD⊥AB于D,PE⊥BC于E,PF⊥AC于F.
∵BP、CP是△ABC的外角平分线,
∴PD=PE,PE=PF,
∴PD=PF.
∴点P必在∠BAC的平分线上.
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过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF,
∵BP是△ABC的外角平分线,PD⊥AD,PF⊥BC,
∴PD=PF(角平分线上的点到角两边的距离相等),
∵点P在∠BAC的角平分线上,PD⊥AD,PE⊥AE,
∴PD=PE(角平分线上的点到角两边的距离相等),
∴PF=PE,PF⊥BC,PE⊥AE,
∴CP是△ABC的外角平分线(在角的内部,到角两边距离相等的点在角的平分线上).
∵BP是△ABC的外角平分线,PD⊥AD,PF⊥BC,
∴PD=PF(角平分线上的点到角两边的距离相等),
∵点P在∠BAC的角平分线上,PD⊥AD,PE⊥AE,
∴PD=PE(角平分线上的点到角两边的距离相等),
∴PF=PE,PF⊥BC,PE⊥AE,
∴CP是△ABC的外角平分线(在角的内部,到角两边距离相等的点在角的平分线上).
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因为,∠BCE=∠A+∠ABC,∠CBD=∠A+∠ACB 所以,∠2=1/2*(∠A+∠ABC),∠1=1/2*(∠A+∠ACB) 所以,∠BPC=180-(∠1+∠2)
追问
咱没有写有∠1和∠2呀
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作PD⊥BC则有RtΔPCM≌RtΔPDC,PM=PD
RtΔPDB≌RtΔPBN,PD=PN
所以,PN=PM
又,AP=AP
所以,RtΔAPM≌RtΔAPN,
所以,∠PAM=∠PAN
亦即,AP是∠BAC的平分线
点P在∠BAC的平分线上
RtΔPDB≌RtΔPBN,PD=PN
所以,PN=PM
又,AP=AP
所以,RtΔAPM≌RtΔAPN,
所以,∠PAM=∠PAN
亦即,AP是∠BAC的平分线
点P在∠BAC的平分线上
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