Question

关于周期函数的四道证明题

① 若f(x+a)=-f(x) 证T=2a
② 若f(x+a)=-1/f(x) 证T=2a
③ 若f(x)关于（a,0）及（b,0)对称 证T=2(a-b)
④ 若f(x)关于（a,0)及（b,0)对称 证T=2(a-b)
我刚上高一，所以大家用高一的知识解决啊，急~~~~~~求高人赐教
第四题打错了，不好意思啊、原题应该是
若f(x)关于x=a及x=b对称，T=2（a-b)

Answer 1

解：
①f(x+2a)=f(x+a+a)=-f(x+a)=-[-f(x)]=f(x);
所以周期T=2a;
②f(x+2a)=f(x+a+a)=-1/f(x+a);
又因为 f(x+a)=-1/f(x);
所以f(x+2a)=f(x);
即周期T=2a;
③由题意可知：
因为f(x)关于点（a，0）对称，则：
f(x)=-f(2a-x);
同理可知：
f(x)=-f(2b-x);
则有：
f(2a-x)=f(2b-x);…………④
令t=2b-x;
则x=2b-t;
代入④式，得：
f(2a-2b+t)=f(t);
可知：
周期T=2a-2b=2(a-b).

接下来的那道题好像跟第三题一样

追问

不好意思发错了、原来的第四题补充过了，能再回答下吗

追答

④由题意可知：
f(x)关于x=a对称，则有：
f(x)=f(2a-x),
同理f(x)=f(2b-x);
所以f(2a-x)=f(2b-x),
接下来的解题思路同第三题一样，
最后也能得出周期T=2(a-b).

Answer 2

1,f（x+2a）=-f（x+a）=f（x）
于是f（x+2a）=f（x），T=2a
2，f（x+2a）=-1/f（x+a）=f（x）
于是f（x+2a）=f（x），T=2a
3，f（x+a）=f（a-x），f（x+b）=f（b-x）
于是f（2a-x）=f（2b-x），令t=2a-x，则f（t）=f（2b-2a+t）
于是f（t+2（b-a））=f（t），于是T=2|b-a|【若a＞b，有T=2（a-b）】
4，

Answer 3

周期函数：对于定义域内的任意x，若存在一个不为零的常数T，使得f(x＋T)=f(x)恒成立，则称T为函数f(x)的周期。
1、f(x＋a)=－f(x)，则f(x＋2a)=－f(x＋a)=－[－f(x)]=f(x)
则函数f(x)的周期是T=2a
2、f(x＋2a)=－1/[f(x＋a)]=－1/[－1/f(x)]=f(x)
周期是T=2a
3、f(x)关于(a，0)对称，则f(a＋x)=－f(a－x)
同理，有：f(b＋x)=－f(b－x) =====>>>> 用x－b＋a替代x，得：
f(a＋x)=－f(2b－a－x) ===>>>>> f(a－x)=f(2b－a－x)
再用x＋a替代x，得：
f(x)=f(x－2a＋2b)
则：周期是T=2|a－b|