Question

200分急求解简单的微积分题

1.lim(1+1/(n+1))^n (n->+无穷) =?
2.lim n^(1/n) (n->+无穷) =?
3.证明：x->0时，cosx-1 ~ -(x^2)/2 ~表示同阶无穷小量
4.证明：ln lim f(x) = lim ln f(x)
5.为什么lim(4(1+(1/4)^n+(2/4)^n+(3/4)^n)^(1/n))=4 ?（x->无穷）

Answer 1

楼上第二题算错了

第四题用复合函数求极限法则证

右边截图是完美证明。过程太难打了，我把原图截给你，你用的时候把外函数换成ln就行了。 

图点开可能太小，你另存在电脑上点开放大就行了，很清晰的。

Answer 2

第一二题其实思路一样。就说第二题吧，.lim n^(1/n)=.lim （（n-1）+1）^(1/n-1)* ((n-1)/n)) =lime^((n-1)/n)=e^lim((n-1)/n)=e^1=e
第三题：limt [cosx-1]/[-(x^2)/2] 用洛比达法上下求导，最后是一个常数，所以原命题得证
第四题我不知道怎么证明，但是平时都这么用
第五题;(1^n+2^n+3^n+4^n)^1/n
=e^{ln[(1^n+2^n+3^n+4^n)^1/n]}
=e^{(1/n)*ln(1^n+2^n+3^n+4^n)}
lim(n->∞) (1/n)*ln(1^n+2^n+3^n+4^n) (用洛比达法则)
=lim(n->∞) [(ln1*1^n+ln2*2^n+ln3*3^n+ln4*4^n)/(1^n+2^n+3^n+4^n)]
=lim(n->∞) [(ln1*(1/4)^n+ln2*(2/4)^n+ln3*(3/4)^n+ln4)/((1/4)^n+(2/4)^n+(3/4)^n+1)]
=ln4
所以原式=lim(n->∞) e^{(1/n)*ln(1^n+2^n+3^n+4^n)}
=e^{lim(n->∞) (1/n)*ln(1^n+2^n+3^n+4^n)}
=e^(ln4)
=4

Answer 3

俄语系学这个？