Question

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，M是AC边上的中点,AD⊥BM交BC于D，交BM于E。求证：∠AMB=∠DMC

Answer 1

作AG平分∠BAC交BM于G
∵∠BAC=90°
∴∠CAG= ∠BAG=45°
∵∠BAC=90° AC=AB
∴∠C=∠ABC=45°
∴∠C=∠BAG
∵AE⊥BM
∴∠ABE+∠BAE=90°
∵∠CAD+∠BAE=90°
∴∠CAD=∠ABE
∵ AC=AB
∴△ACD ≌△BAG
∴CD=AG
∵∠C=∠MAG =45° CM=AM
∴△CMD ≌△AMG
∴∠DMC=∠AMB

Answer 2

作AG平分∠BAC交BM于G
∵∠BAC=90°
∴∠MAG=∠BAG=45°
∵∠BAC=90° AC=AB
∴∠C=∠ABC=45°
∴∠C=∠BAG
∵AE⊥BM
∴∠ABE+∠BAE=90°
∵∠CAD+∠BAE=90°
∴∠CAD=∠ABE
在△ACD 和△BAG中，∠CAD=∠ABG ，AC=AB，∠C=∠BAG
∴△ACD ≌△BAG（ASA）
∴CD=AG
在△CMD 和△AMG中，CM=AM，∠C=∠MAG，CD=AG
∴△CMD ≌△AMG（SAS）
∴∠DMC=∠AMB