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求下列函数的值域(1)y=2x-4/x+3 (2)y=x²-4x+6,x∈[1,5﹚ (3)y=2x-√x-1
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(1)y=(2x-4)/(x+3) = 【2(x+3)-10】/(x+3) = 2-10/x+3,因为10/x+3≠0,所以值域为y∈R且y≠2
(2)y=x²-4x+6=(x-2)²+2,x∈[1,5﹚ 最小值为f(2)=2,最大值(取不到)为f(5)=11,值域为[2,11)
(3)y=2x-√x-1 如果根号下面就是x,那么可以用配方法:y=2(√x-1/4)²-9/8,值域为[-9/8,+无穷)
如果根号下面就是x-1,那么用换元法:设t=√x-1,则x=t²+1,
y =2(t²+1)-t = 2t²-t+2 = 2(t-1/4)²+7/8,t≥0
所以值域为[7/8,+无穷)
(2)y=x²-4x+6=(x-2)²+2,x∈[1,5﹚ 最小值为f(2)=2,最大值(取不到)为f(5)=11,值域为[2,11)
(3)y=2x-√x-1 如果根号下面就是x,那么可以用配方法:y=2(√x-1/4)²-9/8,值域为[-9/8,+无穷)
如果根号下面就是x-1,那么用换元法:设t=√x-1,则x=t²+1,
y =2(t²+1)-t = 2t²-t+2 = 2(t-1/4)²+7/8,t≥0
所以值域为[7/8,+无穷)
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解:(1)因为(2x-4/x)≥2√(2x·4/x)=4√2,
所以y=2x-4/x+3≥4√2+3,
即函数y=2x-4/x+3的值域为[4√2+3,+∞].
(2)因为函数y=x²-4x+6=(x-2)²+2≥2,且当x=2时等号成立,x∈[1,5﹚,
所以y的最大值在x->5时,
因为函数连续,而当x=5时,y=11,
即函数y=x²-4x+6的值域为[2,11).
(3)令√x=t,则原函数可化为:y=2t²-t-1,t≥0,
而函数的极小值在t=1/4时,此时y=-9/8,
即函数y=2x-√x-1的值域为[-9/8,+∞).
所以y=2x-4/x+3≥4√2+3,
即函数y=2x-4/x+3的值域为[4√2+3,+∞].
(2)因为函数y=x²-4x+6=(x-2)²+2≥2,且当x=2时等号成立,x∈[1,5﹚,
所以y的最大值在x->5时,
因为函数连续,而当x=5时,y=11,
即函数y=x²-4x+6的值域为[2,11).
(3)令√x=t,则原函数可化为:y=2t²-t-1,t≥0,
而函数的极小值在t=1/4时,此时y=-9/8,
即函数y=2x-√x-1的值域为[-9/8,+∞).
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追问
第一问再讲详细一点,谢谢。。
追答
哎呀呀呀,搞错啦,把减号看成加号啦!
重解!重解!
解:(1)因为(2x)在区间R上单调递增,
(-4/x)在R上也单调递增,
所以函数y=2x-4/x+3在区间R上可以取任意值,
即:函数y=2x-4/x+3的值域为R.
耽误楼主的时间了,万请见谅……
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