∫x^3*[(1-x^2)^(1/2)]dx的积分怎么求
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用凑微分法较方便:
∫x³·√(1-x²) dx=1/2·∫x²·√(1-x²) d(x²)
=1/2·∫(-x²)·√(1-x²) d(1-x²)
=1/2·∫[(1-x²)-1])·√(1-x²) d(1-x²)
=1/2·∫[(1-x²)^(3/2)-(1-x²)^(1/2)] d(1-x²)
=1/2·[2(1-x²)^(5/2)/5-2(1-x²)^(3/2)/3]+C
=(1-x²)^(5/2)/5-(1-x²)^(3/2)/3+C,C为任意常数
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∫x³·√(1-x²) dx=1/2·∫x²·√(1-x²) d(x²)
=1/2·∫(-x²)·√(1-x²) d(1-x²)
=1/2·∫[(1-x²)-1])·√(1-x²) d(1-x²)
=1/2·∫[(1-x²)^(3/2)-(1-x²)^(1/2)] d(1-x²)
=1/2·[2(1-x²)^(5/2)/5-2(1-x²)^(3/2)/3]+C
=(1-x²)^(5/2)/5-(1-x²)^(3/2)/3+C,C为任意常数
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令x=sint,则(1-x^2)^(1/2)=cost,dx=costdt,于是
∫x^3*[(1-x^2)^(1/2)]dx
=∫(sin^3 t)*(cos^2 t)dt
=∫(sin^2 t)*sint*(cos^2 t)dt
=∫(1-cos^2 t)*sint*(cos^2 t)dt
=∫(cos^2 t-cos^4 t)*sintdt
=(1/5)cos^5 t-(1/3)cos^3 t+C
=(1/5)(1-x^2)^(5/2)-(1/3)(1-x^2)^(3/2)+C
∫x^3*[(1-x^2)^(1/2)]dx
=∫(sin^3 t)*(cos^2 t)dt
=∫(sin^2 t)*sint*(cos^2 t)dt
=∫(1-cos^2 t)*sint*(cos^2 t)dt
=∫(cos^2 t-cos^4 t)*sintdt
=(1/5)cos^5 t-(1/3)cos^3 t+C
=(1/5)(1-x^2)^(5/2)-(1/3)(1-x^2)^(3/2)+C
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