Question

高中函数题[求解]

已知二次函数f（x）=ax²+bx，f（x+1）为偶函数，函数f（x）的图像与直线y=x相切，
(1) 求f（x）的解析式

（2）若常数k≥2/3, ,存在区间[m,n](m<n),使得f（x）在区间[m,n]上的值域恰好为[km,kn],求出区间[m,n]

Answer 1

1、f(x+1)=ax²+(2a+b)x+a为偶函数，f(-x)=f(x)。故，2a+b=0；函数f（x）的图像与直线y=x相切，即
ax²+bx=x有且仅有一解。可得b=1，a=-1/2；f(x)=-1/2x²+x。
2、若常数k≥2/3，存在区间[m,n](m<n)，使得f（x）在区间[m，n]上的值域恰好为[km，kn]；
这问其实就是问y=kx与f（x）相交的问题。f（x）的图像已知，可以画个草图：（1）直线与函数有且仅有一个交点（即（0，0）），我们用直线x=m，x=n去截取；我们就会发现截得两组线在y轴上的投影（截得的线对应的函数值）是不重合的，不满足条件“使得f（x）在区间[m,n]上的值域恰好为[km,kn]”。
（2）、直线与函数有两个交点，显然其中一个交点就为（0，0）。同样的，用两直线截取，我们就会发现：当直线与函数的另一个交点位于直线x=1（二次函数函数的对称轴）的右侧时，是不满足条件的（投影不重合）。这样就得出，另一交点在直线x=1的左侧。又k≥2/3，则另一交点在直线x=2/3的左侧。（1）另一点在y轴（x=0）的右侧，则满足条件的区间为[0,n]，其中n满足条件，｛n|0<n<=2/3｝。（2）另一点在y轴（x=0）的左侧，则满足条件的区间为[m，0]，其中m满足条件｛m|m<0｝。
这叙述比较多，当然书写时，可直接得出结论不用作过多分析就可。

Answer 2

(1) f(x+1)=ax²+2ax+a+bx 为偶函数 =>2a+b=0
函数f（x）的图像与直线y=x相切 =>x=ax²+bx只有一个解
=>b=1
=>a=-1/2
=>f(x)=-x²/2+x

Answer 3

1、f(x+1)=ax²+(2a+b)x+a为偶函数，f(-x)=f(x)。故，2a+b=0；函数f（x）的图像与直线y=x相切，即
ax²+bx=x有且仅有一解。可得b=1，a=-1/2；f(x)=-1/2x²+x。
2、若常数k≥2/3，存在区间[m,n](m<n)，使得f（x）在区间[m，n]上的值域恰好为[km，kn]；
这问其实就是问y=kx与f（x）相交的问题。f（x）的图像已知，可以画个草图：（1）直线与函数有且仅有一个交点（即（0，0）），我们用直线x=m，x=n去截取；我们就会发现截得两组线在y轴上的投影（截得的线对应的函数值）是不重合的，不满足条件“使得f（x）在区间[m,n]上的值域恰好为[km,kn]”。

Answer 4

直线与函数有两个交点，显然其中一个交点就为（0，0）。同样的，用两直线截取，我们就会发现：当直线与函数的另一个交点位于直线x=1（二次函数函数的对称轴）的右侧时，是不满足条件的（投影不重合）。这样就得出，另一交点在直线x=1的左侧。又k≥2/3，则另一交点在直线x=2/3的左侧。（1）另一点在y轴（x=0）的右侧，则满足条件的区间为[0,n]，其中n满足条件，｛n|0<n<=2/3｝。（2）另一点在y轴（x=0）的左侧，则满足条件的区间为[m，0]，其中m满足条件｛m|m<0｝。
这叙述比较多，当然书写时，可直接得出结论不用作过多分析就可。