Question

不等式（m^2—2m—3）x^2—（m—3）x—1＜0对于一切实数恒成立，求m的取值范围。^2是平方

详细

Answer 1

(m²-2m-3)x²-(m-3)x-1<0
(m+1)(m-3)x²-(m-3)x-1<0
(1)m=-1时，4x-1<0不确定
(2)m=3时，-1<0恒成立
(3)m<-1或m>3时，x²系数大于0
此时对于任意实数x不等式<0，不确定
(4)-1<m<3时，x²的系数<0，只要判别式<0，那么对于y=(m+1)(m-3)x²-(m-3)x-1<0恒成立
判别式=(m-3)²+4(m+1)(m-3)<0
(m-3)(m-3+4m+4)<0
(m-3)(5m+1)<0
-1/5<m<3
综上-1/5<m≤3

Answer 2

m²-2m-3=0
(m-3)(m+1)=0
m=3,-1
当m=3时，-1<0恒成立，符合题意
当m=-1时，4x-1<0，x<1/4不符合题意
当m不等于-1和3时
m²-2m-3<0(1)
(m-3)²+4(m²-2m-3)<0(2)
由(1)-1<m<3
由(2)
m²-6m+9+4m²-8m-12<0
5m²-14m-3<0
(5m+1)(m-3)<0
-1/5<m<3
综上-1/5<m≤3

Answer 3

（m^2—2m—3）x^2—（m—3）x—1＜0对于一切实数恒成立
则必须f(x) = （m^2—2m—3）x^2—（m—3）x—1的开口向下并与x轴无交点
即二次项系数小于0并且判别式小于0：
（m^2—2m—3）＜0，并且（m—3）^2 - 4（m^2—2m—3）*(-1)＜0
(m+1)(m-3)＜0，并且5m^2-14m-3＜0
(m+1)(m-3)＜0，并且（5m+1)(m-3)＜0
-1＜m＜3，并且-1/5＜m＜3
综上：-1/5＜m＜3

Answer 4

有去处